Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Задача 1.

Для данного определителя

найти миноры и алгебраические дополнения элементов α 12 , α 32 . Вычислить определитель: а) разложив его по элементам первой строки и второго столбца; б) получив предварительно нули в первой строке.

Находим:

М 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

М 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Алгебраические дополнения элементов а 12 и а 32 соответственно равны:

А 12 = (–1) 1+2 М 12 = –(–18) = 18,

А 32 = (–1) 3+2 М 32 = –(–20) = 20.

а) Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

A 11 А 11 + a 12 А 12 + a 13 А 13 + a 14 А 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Разложим определитель по элементам второго столбца:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

б) Вычислим , получив предварительно нули в первой строке. Используем соответствующее свойство определителей. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на –2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(В определителе третьего порядка получили нули в первом столбце по тому же самому, что и выше свойству определителей.) ◄

Задача 2.

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

А =

данной системы и ранг расширенной матрицы

В =

.

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

В =

~

~
.

Следовательно, rang А = rang В = 3 (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) По формулам Крамера

x = x / , y = y / , z = z/ ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z =
= 32,

находим: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме АХ = . Решение системы в матричной форме имеет вид х = А –1 . По формуле находим обратную матрицу А –1 (она существует, так как = dеt A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Решение системы:

X = =
=
=

.

Итак, x = –4, y = 1, z = –2;

в) Решим систему методом Гаусса. Исключим x из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Задача 5.

Вершины пирамиды находятся в точках А(2; 3; 4), В(4; 7; 3), С(1; 2; 2) и D(– 2; 0; – 1). Вычислить: а) площадь грани ABC ; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер АВ , AC , AD ; в) объем пирамиды ABCD .

А) Известно, что S ABC =
. Находим:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k .

Окончательно имеем:

S ABC =
=
;

б) Середины ребер АВ , ВС и А D находятся в точках К (3; 5; 3,5),

М (1,5; 2,5; 3), N (0; 1,5; 1,5) . Далее имеем:

S сеч =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i – 1,5j – 2,25k ,

S сеч =
=
;

в) Поскольку V пир =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, то V = 11/6 . ◄

Задача 6

Сила F = (2; 3;– 5) приложена к точке А(1; – 2; 2) . Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А в положение В(1; 4; 0) ; б) модуль момента силы F относительно точки В .

А) Так как А = F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

то F · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; А = 28;

б) Момент силы М =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

Следовательно, =
= 4
. ◄

Задача 8.

Известны вершины О(0; 0), A (– 2; 0) параллелограмма ОАС D и точка пересечения его диагоналей В(2;–2) . Записать уравнения сторон параллелограмма.

Уравнение стороны ОА можно записать сразу: y = 0 . Далее, так как точка В является серединой диагонали AD (рис. 1), то по формулам деления отрезка пополам можно вычислить координаты вершины D (x ; y ) :

2 =
, –2 =
,

откуда x = 6 , y = –4 .

Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон. Учитывая параллельность сторон OA и CD , составляем уравнение стороны CD : y = –4 . Уравнение стороны OD составляется по двум известным точкам:

=
,

откуда y = – x , 2 x + 3 y = 0 .

Наконец, находим уравнение стороны AC , учитывая тот факт, что она проходит через известную точку А (– 2; 0) параллельно известной прямой OD :

y – 0 = – (x + 2) или 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Задача 9.

Даны вершины треугольника ABC : A (4; 3), B (– 3; – 3), C (2; 7) . Найти:

а) уравнение стороны AB ;

б) уравнение высоты CH ;

в) уравнение медианы AM ;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH ;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ;

е) расстояние от точки C до прямой AB .

А) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки , получим уравнение стороны AB :

=
,

откуда 6(x – 4) = 7(y – 3) или 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

б) Согласно уравнению

y = kx + b (k = tg α ) ,

угловой коэффициент прямой AB k 1 =6/7 . С учетом условия перпендикулярности прямых AB и CH угловой коэффициент высоты CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). По точке C (2; 7) и угловому коэффициенту k 2 = –7/6 составляем уравнение высоты CH : (y – y 0 = k (x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) или 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

в) По известным формулам находим координаты x , y середины M отрезка BC :

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Теперь по двум известным точкам A и M составляем уравнение медианы AM :

=
или 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты CH составляем систему уравнений

Решая её, получаем N (26/5; 49/15) ;

д) Так как прямая, проходящая через вершину C , параллельна стороне AB , то их угловые коэффициенты равны k 1 =6/7 . Тогда, согласно уравнению:

y – y 0 = k (x – x 0 ) , по точке C и угловому коэффициенту k 1 составляем уравнения прямой CD :

y – 7 = (x – 2) или 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

е) Расстояние от точки C до прямой AB вычисляют по известной формуле:

d = | CH | =

Решение данной задачи проиллюстрировано на рис. 2 ◄

Задача 10.

Даны четыре точки A 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1;13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Составить уравнения:

а) плоскости A 1 A 2 A 3 ; б) прямой A 1 A 2 ;

в) прямой A 4 M , перпендикулярной к плоскости A 1 A 2 A 3 ;

г) прямой A 4 N , параллельной прямой A 1 A 2 .

Вычислить:

д) синус угла между прямой A 1 A 4 и плоскостью A 1 A 2 A 3 ;

е) косинус угла между координатной плоскостью О xy и плоскостью А 1 А 2 А 3 .

А) Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам , составляем уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 :

откуда 6х – 7у – 9z + 97 = 0 ;

б) Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки , уравнения прямой А 1 А 2 можно записать в виде

=
=
;

в) Из условия перпендикулярности прямой А 4 М и плоскости А 1 А 2 А 3 следует, что в качестве направляющего вектора прямой s можно взять нормальный вектор n = (6; – 7; – 9) плоскости А 1 А 2 А 3 . Тогда уравнение прямой А 4 М с учетом канонических уравнений прямой запишется в виде

=
=
;

г) Так как прямая A 4 N параллельна прямой А 1 А 2 , то их направляющие векторы s 1 и s 2 можно считать совпадающими: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) . Следовательно, уравнение прямой A 4 N имеет вид

=
=
;

д) По формуле нахождения величины угла между прямой и плоскостью

sin φ =

е) В соответствии с формулой нахождения величины угла между плоскостями

cos φ =
=
◄

Задача 11.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M (4; 3; 1) и

N (– 2; 0; – 1) параллельно прямой, проведенной через точки A (1; 1; – 1) и

B (– 3; 1; 0).

Согласно формуле уравнения прямой в пространстве , проходящей через две точки, уравнение прямой AB имеет вид

=
=
.

Если плоскость проходит через точку M (4; 3; 1) , то её уравнение можно записать в виде A (x – 4) + B (y – 3) + C (z – 1) = 0 . Так как эта плоскость проходит и через точку N (– 2; 0; – 1) , то выполняется условие

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0 или 6A + 3B + 2C = 0 .

Поскольку искомая плоскость параллельна найденной прямой AB , то с учетом формул условия параллельности прямой и плоскости имеем:

–4A + 0B + 1C = 0 или 4A – C = 0 .

Решая систему

находим, что C = 4 A , B = – A . Подставим полученные значения С и B в уравнение искомой плоскости, имеем

A(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0 .

Так как A ≠ 0 , то полученное уравнение эквивалентно уравнению

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0 . ◄

Задача 12.

Найти координаты x 2 , y 2 , z 2 точки M 2 , симметричной точке M 1 (6; – 4; – 2) относительно плоскости x + y + z – 3 = 0 .

Запишем параметрические уравнения прямой M 1 M 2 , перпендикулярной к данной плоскости: x = 6 + t , y = – 4 + t , z = – 2 + t . Решив их совместно с уравнением данной плоскости, найдем t = 1 и, следовательно, точку M пересечения прямой M 1 M 2 с данной плоскостью: M (7; – 3; – 1) . Так как точка M является серединой отрезка M 1 M 2 , то верны равенства.; в) параболы, имеющей директрису b

Элементы линейной алгебры вданный раздел включены основные типы задач, которые рассматриваются в теме «Линейная алгебра»: вычисление определителей, действия н

Документ

Квадратной матрицы найти а) минор элемента ; б) алгебраическое дополнение элемента ; в) ... найти а) минор элемента ; б) алгебраическое дополнение элемента ; в) ее определитель, получив предварительно нули в первой строке. Решение а) Минором элемента ...

І. элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Документ

... элементу матрицы». Определение. Алгебраическим дополнением элемента аік матрицы А называется минор Мік этой матрицы, умноженный на (-1)и+к: Алгебраическое дополнение элемента ... метода. Пример 1. Задана матрица Найти det A. Решение. Преобразуем...

Решение: при сложении двух матриц к каждому элементу первой матрицы требуется прибавить элемент второй матр

Решение

Го столбца; называют минором элемента . Тогда по определению считается (1) – алгебраическое дополнение элемента , тогда (2) ... Линейные операции над матрицами Задача. Найти сумму матриц и и произведение... совместна, то требуется найти её общее решение. ...

Методические рекомендации по выполнению внеурочной самостоятельной работы студента Дисциплина «Математика» для специальности

Методические рекомендации

Такой определитель называется минором элемента aij. Обозначается минор – Mij. Пример: Найти минор элемента а12 определителя Для... на единицу ниже и минор равен: Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим...

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований .

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :

Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы .

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор ?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента , которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ .

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Проверка:

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы .

Здесь определитель раскрыт по первой строке .

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента . Его нужно вычислить:


Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка .

Обозначается M k . Если k=1, то минор первого порядка - это элемент определителя.

Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору M k . Обозначается M n-k .

Алгебраическим дополнением минора M k будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M k .

Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу a ik вычисляется по формуле

A ik =(-1) i+k M ik , где M ik - минор (n-1) порядка.

Теорема . Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя D n .

Доказательство

1. Рассмотрим частный случай. Пусть минор M k занимает левый верхний угол определителя, то есть располагается в строках с номерами 1, 2, ..., k, тогда минор M n-k будет занимать строки k+1, k+2, ..., n.

Вычислим алгебраическое дополнение к минору M k . По определению,

A n-k =(-1) s M n-k , где s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), тогда

(-1) s =1 и A n-k = M n-k . Получим

M k A n-k = M k M n-k . (*)

Берем произвольный член минора M k

где s - число инверсий в подстановке

и произвольный член минора M n-k

где s * - число инверсий в подстановке

Перемножая (1) и (3), получим

Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя D. Следовательно, это произведение является членом определителя D. Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе D определяется числом инверсий s k в подстановке

Очевидно, что s k =s+s * .

Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение M k A n-k состоит только из членов определителя.

2. Пусть минор M k расположен в строках с номерами i 1 , i 2 , ..., i k и в столбцах с номерами j 1 , j 2 , ..., j k , причем i 1 < i 2 < ...< i k и j 1 < j 2 < ...< j k .

Используя свойства определителей, с помощью транспозиций сместим минор в левый верхний угол. Получим определитель D ¢ , в котором минор M k занимает левый верхний угол, а дополнительный к нему минор M¢ n-k - правый нижний угол, тогда, по доказанному в пункте 1, получим, что произведение M k M¢ n-k является суммой некоторого количества элементов определителя D ¢ , взятых со своим знаком. Но D ¢ получен из D с помощью (i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) транспозиций строк и (j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) транспозиций столбцов. То есть всего было выполнено

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k)= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2+...+k). Поэтому члены определителей D и D ¢ отличаются знаком (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s , следовательно, произведение (-1) s M k M¢ n-k будет состоять из некоторого количества членов определителя D, взятых с теми же знаками, какие они имеют в этом определителе.

Теорема Лапласа . Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1£k£n-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю D.

Доказательство

Выберем произвольно строки i 1 , i 2 , ..., i k и докажем, что

Ранее было доказано, что все элементы в левой части равенства содержатся в качестве слагаемых в определителе D. Покажем, что каждый член определителя D попадает только в одно из слагаемых . Действительно, всякое t s имеет вид t s = . если в этом произведении отметить сомножители, у которых первые индексы i 1 , i 2 , ..., i k , и составить их произведение , то можно заметить, что полученное произведение принадлежит минору k-го порядка. Следовательно, оставшиеся члены, взятые из оставшихся n-k строк и n-k столбцов, образуют элемент, принадлежащий дополнительному минору, а с учетом знака - алгебраическому дополнению, следовательно, любое t s попадает только в одно из произведений , что доказывает теорему.

Следствие (теорема о разложении определителя по строке). Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Теорема . Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (i¹j) равна 0.

Замечание . Удобно применять следствие из теоремы Лапласа к определителю, преобразованному с помощью свойств таким образом, что в одной из строк (или в одном из столбцов) все элементы, кроме одного, равны 0.

Пример. Вычислить определитель

12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.

МиноромM ij элемента a ij определителя n -го порядка называется определитель порядка (n-1 ), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i -ой строки и j -го столбца).

Алгебраическое дополнение элемента a ij задается выражением:

Определители порядка n >3 вычисляются с помощью теоремыо разложении определителя по элементам строки или столбца:

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения, т.е.

Пример.

Вычислить определитель, разложив его по элементам строки или столбца:

Решение

1. Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, прежде чем применять теорему о разложении определителя, преобразуем его, используя следующее свойство: если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится.

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2 .

Из элементов столбца 4 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 , умноженные на 2.

Разлагаем определитель по элементам третьей строки

2. Полученный определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольников или по правилу Саррюса (см выше). Однако элементы определителя являются числами довольно большими, поэтому разложим определитель, предварительно преобразовав его:

Из элементов второй строки вычитаем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3.

Из элементов первой строки вычитаем соответствующие элементы третьей строки.

К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2

Определитель с нулевой строкой равен 0.

Итак, определители порядка n >3 вычисляются:

· преобразованием определителя к треугольному виду с помощью свойств определителей;

· разложением определителя по элементам сроки или столбца, тем самым понижая его порядок.

Ранг матрицы.

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Возьмем матрицу А порядка p xn . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел p и n , то есть,

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка k xk , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Рассмотрим матрицу:

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А , то нашему выбору соответствует минор первого порядка det(-4)=-4. Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А , а из оставшегося элемента составили определитель.

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки, и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка
.

Другим минором второго порядка матрицы А является минор

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А . Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка:

Другим минором третьего порядка является:

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как

Сколько же существует миноров k -ого порядка матрицы А порядка p xn ? Немало!

Число миноров порядка k может быть вычислено по формуле:

Рангом матрицы называется наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы А обозначают как rang(A). Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка p xn .

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .

Пример.

Найдите ранг матрицы
.

Решение.

1. Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

2. Один из миноров второго порядка
отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух.

3. Миноров третьего порядка

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

rang(A) = 2 .

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров . При использовании этого метода вычисления несколько сокращаются, и все же они довольно громоздки.

Существуют еще один способ нахождения ранга матрицы - с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса).

Следующие преобразования матрицы называют элементарными :

· перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;

· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .

Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А помощью конечного числа элементарных преобразований, то rang(A) = rang(B) , т.е. ранги эквивалентных матриц равны.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Пример.

Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы

.

Решение.

1. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А , так как элемент a 11 =0 , а элемент a 21 отличен от нуля:

~

В полученной матрице элемент равен единице. В противном случае нужно было умножить элементы первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми. Во второй строке ноль уже есть, к третьей строке прибавим первую, умноженную на 2:

Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на

Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.

Так как , а , то поменяем местами третий и четвертый столбцы и умножим третью строку полученной матрицы на :

Исходная матрица приведена к трапециевидной, ее ранг равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. Таких строк три, следовательно ранг исходной матрицы равен трем.rang(A)=3.

Обратная матрица.

Пусть имеем матрицу А .

Матрицей, обратной матрице А , называется матрица A -1 такая, что A -1 A = A A -1 = E .

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A -1 к матрице А . Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Алгоритм нахождения обратной матрицы на примере матрицы А :

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0 , то матрица A -1 существует.

2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А . Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение A ij элемента a ij исходной матрицы.

3. Транспонируем матрицу В и получим B t .

4. Найдем обратную матрицу, умножив полученную матрицу B t на число .

Пример.

Для данной матрицы найти обратную и выполнить проверку:

Решение

Воспользуемся ранее описанным алгоритмом нахождения обратной матрицы.

1. Для выяснения существования обратной матрицы, необходимо вычислить определитель данной матрицы. Воспользуемся правилом треугольников:

Матрица является невырожденной, следовательно, она обратима.

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы:

Из найденных алгебраических дополнений составляется матрица:

и транспонируется

Разделив каждый элемент полученной матрицы на определитель, получим матрицу, обратную к исходной:

Проверка осуществляется умножением полученной матрицы на исходную. Если обратная матрица найдена правильно, в результате умножения получится единичная матрица.

Для нахождения обратной матрицы для данной, можно воспользоваться методом Гаусса (конечно, предварительно необходимо убедиться, что матрица обратима), рассмотрение которого оставляю для самостоятельной работы.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n — ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n — ого порядка называется определитель (n — 1) — ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 — его порядка:
Миноры и алгебраические дополнения, определитель матрицы 3 — его порядка , тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель : При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы . Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 — его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1) n , где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор , взятый со знаком «+», если сумма (i + j) четное число, и со знаком «-«, если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некоторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения . Пример.